Comentaris al Diccionari normatiu valencià (XXX)

 

Sobre matemàtiques (2)

 

 

Eugeni S. Reig

 

 

1. Comentaris diversos

● En l’entrada transfinit del DNV diu:

MAT. Que s'utilitza (un nombre) per a numerar els conjunts infinits.

És incorrecte. La definició adequada és la següent: 'es diu del nombre cardinal que expressa la quantitat d’elements d’un conjunt infinit enumerable'.

El conjunt dels nombres naturals és un conjunt enumerable que té infinits elements. El conjunt dels nombres racionals també té infinits elements i també és un conjunt enumerable ja que es pot establir una correspondència biunívoca entre el conjunt del nombres naturals i el dels nombres racionals i, per tant, els dos tenen la mateixa cardinalitat. El nombre que expressa eixa cardinalitat és un nombre transfinit que es denomina àlef zero.

El conjunt dels nombres reals també és un conjunt que té una quantitat infinita d’elements, però no és un conjunt enumerable. És impossible establir una correspondència biunívoca entre cap conjunt enumerable i el conjunt dels nombres reals perquè entre dos nombres reals, per pròxims que siguen, sempre hi ha una quantitat infinita de nombres reals. No hi ha cap nombre real que puguem dir que és el següent o l’anterior d’un altre nombre real. Per a expressar el nombre d’elements que té el conjunt de nombres reals no podem emprar la paraula transfinit perquè el conjunt en qüestió no és enumerable.

La definició de transfinit del DNV ens diu que és un nombre que “s'utilitza per a numerar els conjunts infinits”, però, com hem vist, no tots els conjunts infinits es poden numerar perquè no tots són enumerables.

Alguns conjunts infinits enumerables tenen una cardinalitat superior a àlef zero, com és el cas del conjunt dels subconjunts del conjunt dels nombres naturals.

● En l’entrada quaternió del DNV diu:

m. MAT. Element d'un cert conjunt de nombres no commutatiu de dimensió 4, que conté els nombres complexos.

En l’entrada quaternió del DIEC diu:

m. [MT] Element d’un cert cos no commutatiu de dimensió 4 sobre els nombres reals, que conté els nombres complexos.

Com veiem, en la definició del DNV s’ha canviat l’expressió “cos no commutatiu” que apareix en la definició del DIEC per “conjunt de nombres no commutatiu”. El canvi ha sigut molt desafortunat perquè un conjunt de nombres no pot ser ni commutatiu ni no commutatiu. Un conjunt de nombres en el qual s’ha establit una llei de composició interna (o més d’una) i que, per tant, ha adquirit estructura de grup, anell, cos, etc., sí que pot ser commutatiu o no commutatiu segons que la llei en qüestió tinga o no tinga la propietat commutativa. Dir “cos no commutatiu” té sentit però dir “conjunt de nombres no commutatiu” no en te gens, de sentit.

De tota manera, la definició del DIEC és ambigua i gens aclaridora. La definició clara i correcta de quaternió és la següent: 'element d’un conjunt de nombres hipercomplexos del tipus a+bi+cj+dk dotat de dues lleis de composició interna, una additiva i una multiplicativa, que li donen estructura de cos no abelià i on a, b, c, d pertanyen al conjunt dels nombres reals i on i, j, k complixen la regla algèbrica formal i2 = j2 = k2 = i · j · k = –1'.

Complir la regla i2 = j2 = k2 = i · j · k = –1 implica que:

i · j = –j · i = k

j · k = –k · j = i

k · i = –i · k = j

Com veiem, la multiplicació de quaternions no té la propietat commutativa i per eixe motiu l’estructura del conjunt és la de cos no abelià.

Es pot establir una correspondència biunívoca entre el cos no abelià dels quaternions i un espai vectorial de quatre dimensions amb la base [(1, 0, 0, 0); (0, i, 0, 0); (0, 0, j, 0); (0, 0, 0, k)]. A cada quaternió li correspon un element d’aquest espai vectorial quadridimensional i a cada element d’aquest espai vectorial li correspon un quaternió.  Es veu fàcilment que al quaternió a+bi+cj+dk li correspon en l’espai vectorial el vector (a, b, c, d).

● La tercera accepció de l’entrada suplement del DNV és:

m. GEOM. Arc o angle que cal afegir a un arc o a un angle per a aconseguir l'angle pla o dos angles rectes.

Diu “arc o angle” i, després, “a un arc o a un angle”, però tot seguit diu “angle pla” i “dos angles rectes”. Seria més congruent si diguera: 'arc o angle que cal afegir a un arc o a un angle per a aconseguir un arc o a un angle de 180 graus sexagesimals'.

● En l’entrada suplementar del DNV diu:

v. tr. ALIM. Incorporar suplements nutritius (als aliments).

Falta l’accepció que el verb suplementar té en matemàtiques: 'afegir a un arc o a un angle l’arc o l’angle necessari per a aconseguir un arc o a un angle de 180 graus sexagesimals'.

● En l’entrada nombre del DNV falta nombre i: 'unitat dels nombres imaginaris que és igual a l’arrel quadrada de -1'.

● En l’entrada navalla del DNV no trobem navalla d’Ockham, que és un principi lògic degut al filòsof anglés William of Ockham (o Guillem d’Occam) (1280-1349), principi lògic segons el qual «en igualtat de condicions, l’explicació més senzilla sol ser la correcta». La navalla d’Ockham s’anomena també Lex Parsimoniae.

● En l’entrada teorema del DNV diu:

m. MAT./LÒG. Proposició demostrable lògicament a partir d'unes hipòtesis, uns axiomes o altres proposicions ja demostrats, per mitjà de regles d'inferència.

És incorrecte. No ha de dir “ja demostrats” sinó ja demostrades”. Un axioma, per definició, no és demostrable. Si escrivim ja demostrats” diem que ja han estan demostrats “unes hipòtesis, uns axiomes o altres proposicions” ja que al posar “demostrats” en masculí –que és el gènere no marcat– incloem el vocable “axiomes” que és del gènere masculí. Si escrivim “ja demostrades”, en femení, queda ben clar que ens referim només a “altres proposicions” ja que l’adjectiu demostrades s’aplica només al darrer substantiu que hem citat, substantiu que és femení, és a dir, a “proposicions”. S’ha de canviar, doncs, “demostrats” per “demostrades”. En el DIEC i en el GDLC sí que està correctament escrit.

● En l’entrada regularitat del DNV diu:

1. f. Qualitat de regular.

2. f. REL. Observança exacta de la regla d'un orde o d'un institut religiós.

Falta l’accepció que la paraula regularitat té en matemàtiques que és: 'propietat per la qual tots els elements d’un anell són regulars per a la llei multiplicativa excepte l’element neutre de la llei additiva'.

Açò significa que si una llei multiplicativa té la propietat de regularitat, el producte de dos elements diferents de zero no pot ser zero, és a dir, en l’anell no hi ha cap element que siga divisor del zero.

● L’accepció 13a de l’entrada cos del DNV és:

m. MAT. Anell associatiu amb unitat on cada element no nul té un element invers.

La definició és inadequada. ¿Què significa anell associatiu? Un anell és un conjunt en el qual s’han definit dues lleis de composició interna, una additiva i una multiplicativa, i les dues, per definició, han de tindre la propietat associativa. No té sentit parlar d’anell associatiu ja que tots els anells ho són necessàriament per a les dues lleis de composició interna. Si no fóra així, no serien anells.

La definició correcta de cos és: 'anell en el qual la llei multiplicativa té la propietat de regularitat, té element neutre i cada element té el seu simètric'.

La llei multiplicativa pot tindre la propietat commutativa o no tindre-la. Si la té, el cos s’anomena commutatiu o abelià.

Un dels cossos més coneguts en matemàtiques és el conjunt dels nombres reals amb les lleis addició i multiplicació.

 

2. Fraseologia lèxica que falta en el DNV

Tot seguit relacione –ordenades alfabèticament– diverses unitats lèxiques que no apareixen en el DNV.

navalla d’Ockham

nombre i

 

3. Cibergrafia

Diccionari normatiu valencià de l’Acadèmia Valenciana de la Llengua

<http://www.avl.gva.es/dnv>

 

 

Eugeni. S. Reig

València, 21 de novembre del 2014

 -------------------------------------------------------------------------------------------------